Mathematik
Mathematik in Zeiten von KI – Beweise vom Chatbot
Beweise sind die Bausteine, aus denen die Mathematik ihre Gedankengebäude errichtet. Nur was mit streng logischen Argumenten belegt ist, wird akzeptiert. Aber komplizierte Beweise können fehlerhaft sein und sind schwer zu überprüfen.
Nun können Computerverfahren Beweise auf ihre Richtigkeit checken. Bald werden KI-Systeme selbst Beweise vorschlagen und vielleicht die großen mathematischen Rätsel lösen. Doch wird diese Beweise dann noch jemand nachvollziehen können?
Das Manuskript zur Sendung kann man herunterladen.
»KI wird ein großartiger Kopilot für Mathematiker sein«
Computer sind immer öfter an mathematischen Durchbrüchen beteiligt. Wie Beweisprüfer und KI-Programme die Arbeit der Fachleute ändern, erklärt der Mathematiker Terence Tao im Interview.
Mathematik ist traditionell eine einsame Wissenschaft. Andrew Wiles etwa zog sich 1986 sieben Jahre in seine Studierstube zurück, um Fermats Großen Satz zu beweisen. Und die Beweise, die dabei herauskommen, sind für Kolleginnen und Kollegen häufig schwer verständlich, manche sind bis heute umstritten. Aber in den letzten Jahren sind immer größere Gebiete der Mathematik so streng in ihre einzelnen Bestandteile aufgespalten (»formalisiert«) worden, dass Beweise von Computern überprüft und verifiziert werden können.
Terence Tao von der University of California in Los Angeles ist überzeugt, dass diese Verfahren ganz neue Möglichkeiten der Kooperation in dieser Wissenschaft ermöglichen …
Eine neue Mathematik
Bislang galt: Computer können rechnen, aber mathematische Beweise bleiben Kopfarbeit. Doch ein neues Verfahren könnte die Lösung großer Probleme revolutionieren.
Das wäre anders, wenn es ein automatisiertes Verfahren gäbe, das mathematische Arbeiten auf ihre Korrektheit prüft – was nun so weit ist. Es heißt Lean, und der aus Brasilien stammende de Moura, zurzeit als Informatiker in der Forschungsabteilung von Amazon beschäftigt, hat es seit 2013 mitentwickelt. Große Teile des mathematischen Wissens sind für Lean bereits in eine Art Computersprache übersetzt worden. Wenn nun eine Mathematikerin oder ein Mathematiker einen neuen mathematischen Beweis vorschlägt und in Lean formuliert, kann das System ihn Schritt für Schritt nachvollziehen und nachher mit dem Siegel „stimmt“ oder „stimmt nicht“ versehen. Jeder kann dem Ergebnis trauen, sobald es erfolgreich überprüft wurde.
Bei der Arbeit mit Lean müssen die menschlichen Mathematiker noch selbst die Idee für einen Beweis haben. Schon bald aber könnten auch Computer neue Beweise vorschlagen. Nimmt man beides zusammen – die Beweisfindung und die Überprüfung –, dann bekommen menschliche Forscherinnen und Forscher einen mächtigen Gehilfen an die Hand. So mächtig, dass der sie sogar eines Tages überflügeln könnte.
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Sie wollen die Mathematik lösen
Elon Musks Firma xAI ist bekannt für ihren pöbelnden Chatbot. Doch die klugen Köpfe dahinter arbeiten an einer außergewöhnlichen Idee: einer formal korrekt denkenden KI.
Elon Musks neue Firma xAI gehört zu den geheimnisumwittertesten Start-ups im Silicon Valley. Im Juli kündigte die Website lediglich an: „Das Ziel von xAI ist es, die wahre Natur des Universums zu verstehen“, darunter die zwölf Köpfe der Gründungsmitarbeiter …
Der ZEIT-Mathetest 2023
Der große Mathe-Test der ZEIT zeigt, wie schwer es vielen Deutschen fällt, selbst einfache Aufgaben zu lösen.
Sie fahren eine Strecke von 240 Kilometern mit 100 statt mit 120 Kilometern pro Stunde. Wie viel länger brauchen Sie? Können Sie das ausrechnen? Ohne Probleme? Glückwunsch! Sie wissen mehr als zwei Drittel der Deutschen. Und womöglich wissen Sie noch etwas anderes: dass Mathematik wichtig für den Alltag ist. Doch entscheidend ist, was daraus folgt. Und das ist in Deutschland nicht viel.
Mehr zum Thema:
Hier kann man den Test selbst machen!
Interview mit der Mathe-Didaktikerin Anke Lindmeier zu Geschlechterunterschieden bei Mathematikkenntnissen: „Es gibt auch Länder, wo die Mädchen besser sind als die Jungen“
Detailvergleiche Mann-Frau, Ost-West – und zwischen den Generationen von Boomern bis GenZ
Die oben gestellte Frage ist eine von 29 Aufgaben des großen Mathematik-Tests der ZEIT. Einer repräsentativen Studie, die vor zehn Jahren zum ersten Mal durchgeführt wurde. Damals hatten die Deutschen große Schwierigkeiten, relativ einfache mathematische Aufgaben zu lösen. Das Fazit lautete: Versetzung gefährdet!
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Die Mathematik der Fairness
Egal ob Menschen oder Maschinen Entscheidungen treffen: Es besteht immer die Gefahr, dass bestimmte Gruppen benachteiligt werden. Lässt sich Fairness überhaupt erreichen?
Dieses interaktive „Scrollytelling“-Projekt, habe ich im Rahmen meines Stipendiums im MIP.labor an der FU Berlin erstellt. Es steht unter einer Creative-Commons-Lizenz, kann also unter gewissen Bediungungen honorarfrei weiter verbreitet werden!
Streit um den Zahlensinn
Zwei Philosophen behaupten, es gebe einen angeborenen Sinn für Zahlen – und lösen damit eine unerwartet hitzige Debatte aus.
Fünf Sinne habe der Mensch, sagt man gemeinhin, zum Sehen, Hören, Riechen, Schmecken und Tasten. Wer einen siebten Sinn besitzt, gilt bereits als übersinnlich begabt. Dabei wurden inzwischen eine ganze Reihe weiterer Wahrnehmungsarten identifiziert. Und seit der Hirnforscher Stanislas Dehaene 1997 das Buch Der Zahlensinn veröffentlichte, ist auch von einem angeborenen Sinn für Quantitäten die Rede.
Aber kann man wirklich von einem „Sinn“ sprechen, der Zahlen erfasst, so wie wir eine Empfindung von heiß und kalt haben? Gibt es eine angeborene Fähigkeit, die das mühselige Abzählen von Dingen überflüssig macht? Um diese Frage dreht sich derzeit ein wissenschaftlicher Disput. Dabei geht es letztlich darum, ob Zahlen objektiv existieren oder ob sie eine kulturelle Erfindung sind, wie etwa das Schriftsystem oder Fahrradfahren.
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Schneller rechnen
Die Zeit
Multiplikation ist Schulstoff? Von wegen: Bei sehr großen Zahlen wird daraus mathematischer Hochleistungssport.
Das Malnehmen von zwei mehrstelligen Zahlen lernt man als elementare Rechenoperation schon in der Grundschule: Man multipliziert die linke Zahl nacheinander mit den Einern, Zehnern, Hundertern und so weiter der rechten Zahl, schreibt die Ergebnisse gestaffelt untereinander und addiert sie auf. Kein großes Ding, oder?
Zumindest gilt das für Zahlen mit ein paar wenigen Ziffern. Aber je größer die Zahlen, umso höher der Rechenaufwand – er steigt „mit dem Quadrat der Länge“ der Zahlen, wie Mathematiker sagen. Für die Multiplikation zweier vierstelliger Zahlen muss man 16-mal das Einmaleins bemühen, bei zwei hundertstelligen Zahlen schon 10.000-mal. Allgemein gesprochen: Zwei n-stellige Zahlen erfordern n2Elementarmultiplikationen (und danach noch ein paar Additionen). Für zwei Zahlen mit je einer Milliarde Ziffern würden selbst moderne Computer 30 Jahre brauchen.
Zum Glück geht es aber schneller als mit der Schulmethode.
Besondere Zahlen
Die Zeit
Jeder weiß, was gerade und ungerade Zahlen sind. Auch von Primzahlen haben die meisten schon gehört. Mathematiker kennen aber viele weitere Klassen besonderer Zahlen, denen sie manchmal originelle Namen geben.
Fields-Medaille für Peter Scholze
Der 30-jährige Bonner Mathematiker Peter Scholze hat heute die Fields-Medaille erhalten. Das habe ich gleich für mehrere Medien aufgeschrieben und -genommen: