Leseprobe

Der Volksrechner

oder: Tu Lings universelle Maschine

In dieser Geschichte geht es um das ferne Land Magnolien, dessen Kultur der unseren sehr fremd ist. Der Herrscher Lang Tsung regiert seine Untertanen mit absoluter Macht und harter Hand. Er selbst lebt in Saus und Braus, sein Volk verhungert nicht gerade, fristet sein Leben aber in sehr bescheidenen Verhältnissen. Zwar haben manche Bewohner Magnoliens schon einmal davon gehört, dass in anderen Teilen der Welt die Menschen in selbstfahrenden Kutschen durchs Land sausen und sogar durch die Luft fliegen, einige haben schon einmal so ein fliegendes Objekt am Himmel gesehen, aber in Magnolien selbst gibt es keine Elektrizität, keine modernen Medien und keine motorisierten Fahrzeuge.

Eine kleine Kaste von Vertrauten des Herrschers genießt das Privileg, die Grenzen des Landes überschreiten und Kontakt mit der Welt draußen aufnehmen zu dürfen. Einige sind nie wieder zurückgekehrt, andere haben Lang Tsung von dem Leben der Menschen in anderen Ländern erzählt und sehr vorsichtig – eine allzu direkte Sprache kann einen in Magnolien leicht ins Gefängnis bringen –, also wirklich sehr vorsichtig angefragt, ob man das Land nicht ein klitzekleines bisschen öffnen sollte, etwa für die neuen Unterhaltungstechniken. So gebe es dort draußen sogenannte «Fernseher», die bunte, bewegte Bilder zeigten – mit denen könnte man doch zum Beispiel die tägliche Ansprache des Herrschers in jede Wohnstube des Landes übertragen. Außerdem ließen sich damit Schauspiele und musikalische Darbietungen zeigen, und solche Vergnügungen könnten doch dem hart arbeitenden Volk ein wenig das Leben versüßen. Doch Lang Tsung hat sich bisher standhaft geweigert, solche Dinge ins Land zu lassen. «Ich möchte nicht als Puppenfigur in einer Kiste stecken», pflegt er darauf zu antworten. «Und zur Unterhaltung der Massen haben wir doch die öffentlichen Singspiele und die Massenkundgebungen in der Großen Arena!»

Auf diese Kundgebungen ist er stolz, besonders auf die faszinierenden Bilder-Shows. Bei denen sitzen teilweise 10 000 und mehr Schulkinder auf der Haupttribüne und halten bunte Pappkartons hoch, aus denen sich für die Zuschauer ein riesiges Bild formt, das sich – durch Austausch der Pappen – ständig verändert. Manche der Bilder-Brigaden sind so gut, dass sie auf diese Weise bewegte Szenen darstellen können – so etwas erfordert einen monatelangen Drill, weil jedes Kind genau seine Farbfolge kennen muss und beim Wechsel der Pappen nie aus dem Takt kommen darf.

General Tsei Tung gehört zu den Vertrauten des Herrschers, die durchaus vorsichtige Reformen befürworten, aber er weiß, dass er mit vielen Ideen bei Lang Tsung auf Granit beißen würde. Insbesondere der Vorschlag, das Land zu elektrifizieren und damit viele neue Techniken zu ermöglichen, die das Leben für das Volk ein bisschen weniger mühsam machen könnten, ist vom Herrscher stets brüsk abgelehnt worden. Die unsichtbare Energie, die durch metallene Drähte fließen kann, ist Lang Tsung nicht geheuer.

Deshalb ist Tsei Tung auf die Idee verfallen, seinem Chef eine neue Technik vorzuführen, die ohne Elektrizität oder Motoren auskommt, wenn auch die entsprechenden Geräte in anderen Ländern, die mit Strom funktionieren, erheblich leistungsfähiger sind. Hat der Herrscher einmal Gefallen daran gefunden, so Tsei Tungs Idee, so ist er vielleicht auch offener für weiter gehende technische Neuerungen.

Heute hat Tsei Tung seinen wöchentlichen Termin beim Herrscher, bei dem es gewöhnlich seine Aufgabe ist, ihm die aktuellen Sorgen der Bevölkerung nahezubringen – in schönfärberischem Ton, aber doch so deutlich, dass die Nachrichten über Missstände oben ankommen. An diesem Tag jedoch ist er nicht allein gekommen: Vor der Tür warten ein wohl knapp 30-jähriger Mann mit strengem Seitenscheitel und eine Schar von acht Kindern, alle um die zehn Jahre alt.

«Großer Lang Tsung», beginnt Tsei Tung seinen Vortrag, nachdem die Höflichkeitsfloskeln ausgetauscht worden sind, «heute möchte ich Euch nicht über Probleme des Landes berichten, sondern von einer neuen Erfindung, die einer der klügsten Söhne unseres Landes gemacht hat.»

«Geht es wieder um diesen Elektrokram?», fragt Lang Tsung mürrisch. «Du weißt doch, dass ich davon nichts halte.»

«Nein, nein», beteuert Tsei Tung, «es geht um eine Erfindung ganz im Sinne Eurer Ideologie vom Wohlstand aus eigener Kraft. Sie baut auf einer Kulturtechnik auf, die unser aller großer Stolz ist: den bewegten Bildern in der Großen Arena.»

Der Herrscher ist überrascht und versucht, ein gütiges Lächeln hinzubekommen.

«Der Erfinder heißt Tu Ling», fährt Tsei Tung fort, «er steht draußen vor der Tür zusammen mit einer kleinen Brigade seiner jugendlichen Helfer und möchte euch gern seine Volks-Rechenmaschine vorführen.»

«Eine Rechenmaschine? Brauchen wir so etwas?», fragt der Herrscher misstrauisch.

«Lasst es Euch demonstrieren und urteilt dann», schlägt Tsei Tung vor.

«Na gut», brummt Lang Tsung, «eine halbe Stunde hat der Mann – dann habe ich etwas Wichtiges vor.» Er weiß zwar nicht, was in seinem Terminkalender steht, aber irgendjemand wird es ihm sagen, und es ist garantiert wichtig für das Schicksal des Landes.

Tsei Tung hastet zur Tür hinaus und kommt kurz darauf mit dem Mann und den Kindern zurück, die draußen gewartet haben. Die Kinder tragen bunte Pappen unter dem Arm, jeweils etwa 40 mal 40 Zentimeter groß, wie sie bei den Bilderschauen in der Arena verwendet werden. Ein Junge trägt außerdem einen Hut mit drei Spitzen auf dem Kopf und eine Trillerpfeife um den Hals.

Tu Ling macht eine tiefe Verbeugung vor dem Herrscher. Seine Nervosität ist ihm anzusehen. Er hat noch nie einen Palast von innen gesehen, und die höfischen Umgangsformen sind ihm fremd.

«Herr Tu Ling ist Mathematiklehrer an einer der Schulen der Hauptstadt», erklärt Tsei Tung, «und er wird Euch nun mit seinen Schülern seine Erfindung demonstrieren. Die Kinder haben vier Wochen lang für diese Vorführung geübt!»

Lang Tsung lächelt wohlwollend. «Nur zu, nur zu!» Auf ein Zeichen von Tu Ling stellen sich alle acht Kinder in einer Reihe auf, mit dem Gesicht zum Herrscher. Man sieht jetzt, dass jedes von ihnen drei Pappen hat, eine weiße, eine graue und eine schwarze. Der Junge mit dem Dreispitz und der Trillerpfeife steht ganz rechts. Zu Anfang halten alle Kinder die weiße Pappe vor ihren Bauch. Auf ein leichtes Nicken von Herrn Tu Ling hin pfeift das Kind ganz rechts auf der Trillerpfeife, und dann spielt sich ein auf den ersten Blick sehr verwirrendes Schauspiel ab: Der Dreispitz wird auf eine nicht zu durchschauende Weise von Kind zu Kind weitergegeben und dabei auch gedreht – manchmal zeigt die Spitze nach vorn und manchmal die Breitseite. Wenn ein Kind den Hut weitergegeben hat, wechselt es manchmal die Pappe, die nach vorn zeigt, manchmal aber auch nicht. Jedes Mal, wenn der Hut wieder bei dem Jungen ganz rechts ankommt, stößt der zusätzlich einmal in die Trillerpfeife. Das Ganze geht mit unglaublicher Schnelligkeit vor sich, ständig wechseln die Farben von Weiß nach Grau nach Schwarz und wieder zurück. Schließlich kommen die Kinder zur Ruhe – alle halten nun ein schwarzes Schild vor ihre Brust, außer dem Jungen ganz rechts, der sein weißes Schild während der ganzen Prozedur nicht gewechselt hat.

Die Kinder lächeln stolz und erwartungsvoll ihren Herrscher an. Der allerdings gibt nur eine Art Grunzlaut von sich.

«Was war das denn?», fragt er mürrisch. «Eine sehr eindimensionale Schau, wenn ich das mal so sagen darf. Und ich habe nicht erkennen können, was für Bilder ihr darstellen wolltet!»

«Verzeiht, großer Lang Tsung», meldet sich Tu Ling zu Wort, «aber wir wollten auch gar keine Bilder darstellen. Die Kinder sind eine Rechenmaschine – und was sie getan haben war, von 1 bis 255 zu zählen.» «Wie bitte?» Der Herrscher macht nur ein verständnisloses Gesicht. «Weil es alles so schnell ging», sagt Tu Ling, «Habe ich Euch auf einem Papier die Abfolge der ‹Bilder› aufgezeichnet, zumindest die ersten 50 Stationen.» Er zeigt Lang Tsung einen Papierstreifen mit weißen, grauen und schwarzen Kästchen.

 

«Na und, was soll ich darauf erkennen?», fragt der Herrscher.

«Erst einmal gar nichts», gibt Tu Ling zu. «Aber jetzt zeige ich Euch einen zweiten Streifen, da ist nur der jeweilige Zustand zu sehen, wenn der Junge ganz rechts den Hut aufhatte und in seine Trillerpfeife geblasen hat.»

Er zeigt dem Herrscher einen zweiten Papierstreifen, der dem ersten nicht unähnlich sieht.

Lang Tsung schaut verständnislos auf das Papier, dann auf den Mathematiklehrer, dann wieder aufs Papier. «Willst du mich veräppeln? Oder bin ich der Einzige, der hier nur Bahnhof versteht? Ich mag es überhaupt nicht, wenn man sich auf meine Kosten amüsiert!»

Dem Lehrer bricht der Angstschweiß aus, er malt sich schon aus, dass er aufgrund der schlechten Laune des Herrschers in einem Straflager landet – aber Tsei-Tung springt zu seiner Rettung in die Bresche. «Hat der große Lang Tsung schon einmal etwas vom Binärsystem gehört?»

«Bi... was?»

«Das Binärsystem ist eine andere Art, die Zahlen zu schreiben, als wir es von unseren Vorfahren gelernt haben. Statt zehn Ziffern braucht man nur zwei, null und eins, dafür werden die Zahlen ein bisschen länger.15 Wenn ein graues Kästchen für eine 0 steht und ein schwarzes für eine 1, dann sind auf dem zweiten Papierstreifen, den Euch Tu Ling gezeigt hat, genau die Zahlen von 1 bis 50 zu sehen.

Insgesamt haben die Kinder von 1 bis 255 gezählt – im Binärsystem ist das die Zahl 11111111.»


«Danke für die Belehrung, aber natürlich kannte ich das», sagt der Herrscher, es klingt nicht sehr glaubwürdig. «Aber warum führt ihr mir das vor? Eigentlich dachte ich, dass jedes zehnjährige Kind bei uns so weit zählen kann, ganz ohne Hilfsmittel und ohne sieben Helfer.»

«Selbstverständlich, großer Lang Tsung», antwortet ihm Tu Ling, der sich wieder gefangen hat. «Aber das Besondere an unserer Vorführung ist, dass keines der Kinder wirklich zählen oder rechnen muss. Sie manipulieren nur ihre Schilder nach sechs einfachen Regeln, sobald der Hut bei ihnen ankommt.» Tu Ling zieht einen weiteren Zettel hervor und will ihn dem Herrscher zeigen, aber der macht eine wegwerfende Handbewegung – offenbar interessieren ihn Details nicht.

«Das alles geht ganz mechanisch», fährt Tu Ling fort, «rechnen tut dabei die ‹Maschine›, also die ganze Gruppe von Kindern. Und das Zählen ist nur das einfachste Programm, das wir haben.»

«Programm?», fragt der Herrscher ein bisschen spöttisch. «Sehr abwechslungsreich ist euer Unterhaltungsprogramm aber nicht!»

«‹Programm› nennt man das wohl in Tu Lings Fachsprache», wirft der General ein.

«Wir können zum Beispiel Zahlen addieren», fährt Tu Ling fort, den jetzt die Begeisterung für seine Erfindung gepackt hat. «Oder multiplizieren und dividieren. Oder die Steuereinnahmen des ganzen Landes berechnen.» Beim Wort «Steuer» hellt sich das mürrische Gesicht des Herrschers ein wenig auf.

«Ja, in gewisser Weise ist diese Maschine universell», sagt Tu Ling. «Sie kann alles berechnen, was man überhaupt berechnen kann, solange man genügend Kinder hat – und genügend Zeit. Es hängt nur von den Regeln ab und vom Anfangszustand der Maschine, also vom Farbmuster in der Grundaufstellung.» Der Herrscher sieht gar nicht mehr so unwillig aus, er denkt wohl über die Vereinfachung seines Steuereintreibungssystems nach.

«Ich habe mit Tu Ling über die möglichen Anwendungen gesprochen», sagt General Tsei Tung, «und die sind wirklich grenzenlos: Man kann zum Beispiel, wenn man genügend Rechner hat, das Wetter der nächsten Woche vorausberechnen. Aber auch im Unterhaltungsbereich gibt es Anwendungen. Zum Beispiel könnte man die bewegten Bilder in der Arena mit einem solchen Volksrechner steuern. Die Kinder, die die ‹Leinwand› bilden, müssten dann gar nicht mehr ihr Programm auswendig lernen – sie würden von einer Rechnergruppe im Hintergrund angesteuert und bekämen immer genau zur rechten Zeit ein Signal, welche Farbtafel sie hochhalten müssen.»

«Dann könnten wir endlich meinen Traum verwirklichen und die fünfstündige Saga über die Geschichte unseres Herrscherhauses mit bewegten Bildern in der Arena aufführen?», fragt Lang Tsung, der nun Geschmack an der Sache gefunden zu haben scheint.

«Äh ... ja, zum Beispiel», sagt Tsei Tung diplomatisch. «Auf meinen Reisen in andere Länder habe ich gesehen, dass man solche Maschinen mit elektrischen Bauteilen konstruiert hat – die brauchen überhaupt keine Menschen mehr, passen in eine kleine Kiste, sodass jeder Bürger einen persönlichen Rechner zu Hause haben kann.»

«Einen persönlichen Rechner?», lacht der Herrscher, «wer braucht denn so was? Ich schätze, dass wir mit fünf dieser Volksrechner im ganzen Land auskommen werden. Und wenn Sie, lieber Tsei Tung, das wieder als Anlass benutzen wollen, mir diese Elektrizität unterzujubeln – dann vergessen Sie das mal ganz schnell. Ich finde, der Volksrechner ist eine großartige Aufgabe für die Jugend unseres Landes.»

Und ehe noch jemand einen Kommentar dazu abgeben kann, hat sich Lang Tsung abgewandt – das untrügliche Zeichen dafür, dass die Audienz beendet ist. Tsei Tung, Tu Ling und die Kinder verlassen den Besprechungsraum. Der Lehrer mit sichtbarem Stolz, dass seine Erfindung so gut angekommen ist, und der General mit einem zufriedenen Lächeln. «Steter Tropfen höhlt den Stein», denkt er sich, und wieder ist ein Stück Fortschritt in Magnolien angekommen.


The Entscheidungsproblem

Der eine oder andere Leser wird es schon vermutet haben – Tu Ling steht natürlich für Alan Turing (1912–1954), den genialen britischen Mathematiker, der im Jahr 2012 hundert Jahre alt geworden wäre. Mit seinem Namen sind drei Dinge verknüpft: die Entschlüsselung der Enigma-Maschine, mit der die Deutschen im Zweiten Weltkrieg ihre geheimen Funksprüche codierten, der «TuringTest», mit dem Computer menschengleiche Intelligenz beweisen sollen (und den noch kein Computer bestanden hat), und die Turingmaschine – ein idealisierter Computer, den Turing erfand, bevor es tatsächlich programmierbare Computer gab. Die «Maschine», die Tu Ling in unserer Geschichte vorstellt, ist die vereinfachte Version einer Turingmaschine, das Modell geht zurück auf den amerikanischen Informatiker und Unternehmer Stephen Wolfram. Sie ist aber trotzdem eine universelle Maschine in dem Sinne, dass man auf ihr alles rechnen kann, was man auf einer allgemeinen Turingmaschine auch rechnen kann.

Auch wenn sich der Herrscher Lang Tsung nicht dafür interessiert hat – wir schauen uns doch einmal genauer an, wie die Maschine funktioniert. Ein wichtiges Element ist der Hut, den die Kinder weitergeben. Er bezeichnet den Ort, wo gerade gerechnet wird, und er kennt zwei Zustände: Spitze nach vorn ist Zustand A, flache Seite nach vorn ist Zustand B.

Sobald der Hut bei einem Kind ankommt, muss es eine Handlung ausführen. Welche, das hängt ab von dem Zustand des Huts und von der Farbtafel, die es im Moment vor der Brust hat – weiß, grau oder schwarz. Es gibt also sechs verschiedene Handlungsmöglichkeiten, diese sechs Regeln haben sich die Kinder vorher eingeprägt.

Die Handlung besteht dann daraus, dass das Kind die Farbtafel austauscht oder beibehält, den Zustand des Huts wechselt oder beibehält und ihn dann nach rechts oder links weitergibt. Hier sind alle Regeln in einer Tabelle zusammengefasst:



Wenn zum Beispiel ein Kind gerade eine graue Pappe vor sich hat und bekommt den Hut im Zustand B, also mit der Spitze nach hinten, gereicht, dann sagt die Tabelle: «Wechsle zur schwarzen Pappe, gib den Hut nach rechts weiter (vom Zuschauer aus gesehen), und zwar im Zustand A.»

Die schwarzen Felder bedeuten ja später die Einsen, die grauen Felder die Nullen, und die Weißen sind «unbeschriebenes Papier». Sie können ja gern einmal ein paar Schritte des «Zählprogramms» nachrechnen, es ist gar nicht schwer. Bald wird ihnen auffallen, dass der Zustand A eine Art «Durchreich-Programm» beschreibt: Ist auf einem Feld schon eine 1 oder 0, und es kommt ein Hut im Zustand A an, dann wird die Farbe nicht verändert und auch der Hut unverändert weiter nach rechts gereicht. Das geht so lange, bis der Hut beim äußersten rechten Jungen ankommt, der tatsächlich nie seine Farbe ändert. Der gibt den Hut nach links zurück, und zwar im Zustand B, und der nächste Rechenschritt wird ausgeführt.

Zustand B ist das «Rechenprogramm»: Er macht aus einer 0 eine 1. Aus einer 1 macht er eine 0 und geht dann einen Schritt nach links – das ist der «Übertrag» beim Rechnen. Stößt er dort nämlich auf ein unbeschriebenes Feld, dann färbt er es schwarz, trägt also eine 1 ein. Die meisten Bewegungen ergeben auf den ersten Blick nicht viel Sinn, aber wenn man, wie in der Geschichte, immer nur auf die Zeilen schaut, in denen der Hut wieder ganz rechts angekommen ist, erscheint tatsächlich das Muster der Binärzahlen.

Selbst so ein einfaches Programm wie das Zählen verlangt eine Menge logischer Schritte, das haben wir in diesem Buch ja schon mehrmals gesehen. Und natürlich ist die Vorstellung, dass man mit einem solchen «Volksrechner» tatsächlich Rechnungen ausführen könnte, wie sie ein moderner Computer leistet, völlig illusionär. Es geht ja auch nur ums Prinzip!

Alan Turing hatte auch nicht im Hinterkopf, dass seine «automatische Maschine», wie er sie nannte, jemals gebaut werden sollte. Die bestand nicht aus menschlichen Rechenzellen, sondern aus einem endlosen Papierstreifen, auf dem sich – analog zu dem Hut in unserer Geschichte – ein Lese- und Schreibkopf hin und her bewegte. Statt der zwei Zustände in unserem Beispiel konnte es beliebig viele geben, und auch der Vorrat der Zeichen, die der Schreibkopf aufs Band schreiben konnte, war beliebig groß und bestand nicht nur aus unseren Symbolen Weiß, Grau und Schwarz. Und es gab einen entsprechenden Satz von Regeln, der für jeden Zustand und für jedes gelesene Symbol dem Schreibkopf sagte, was für ein neues Symbol er schreiben und wohin er sich als Nächstes bewegen sollte. Ein wichtiger Unterschied zu unserem Zählprogramm: Die Turingmaschine kennt auch den Zustand «stop» – sie hält an, wenn ihr Programm abgearbeitet ist. Aber tatsächlich war es in seiner ursprünglichen Arbeit von 1936 ein Mensch, der sogenannte computer, der die Regeln in sklavischer Manier ausführte.

Diese Arbeit hieß On Computable Numbers, with an Application to the Entscheidungsproblem, und es ging in ihr überhaupt nicht um irgendwelche konkreten Rechnungen mit Zahlen. Das Entscheidungsproblem stand als Nummer 10 auf der Liste der ungelösten mathematischen Probleme, die der deutsche Mathematiker David Hilbert im Jahr 1900 seiner Zunft präsentiert hatte. Im Lauf der Zeit hatten die Mathematiker es erweitert, und letztlich ging es um Folgendes: Seit Gödels Unvollständigkeitssatz war ja bekannt, dass nicht alle wahren mathematischen Sätze beweisbar sind – aber kann man wenigstens entscheiden, ob ein Satz beweisbar ist?

Bis dahin gehörten Phantasie und ein Stück Genialität dazu, einen schwierigen mathematischen Satz zu beweisen – könnte man ein Verfahren angeben, das auf «mechanische» Art die Frage nach der Beweisbarkeit entscheidet und bei positiver Antwort den Beweis gleich mitliefert? Das erinnert wieder sehr stark an Leibniz’ Vorstellung, man könne jedes Problem, jede Meinungsverschiedenheit zwischen Menschen «ausrechnen».

Turing nahm die Vorstellung, dass so ein mechanisches Entscheidungsverfahren existiere, sehr wörtlich und sagte sich: Dann konstruiere ich eine Maschine, die das tut! Denn letztlich geht es ja um die Manipulation von Symbolen nach bestimmten Regeln. Das Entscheidungsproblem wird dann zu der Frage: Kommt die von ihm definierte Maschine zu einem Ergebnis, wenn man sie mit einer mathematischen Formel füttert? Hält das Programm der Turingmaschine irgendwann an und sagt «ja» oder «nein»?

Turing fand und bewies die Lösung, und sie passt wieder sehr gut in das Schema der paradoxen und selbstbezüglichen Sätze, mit denen wir uns in den vergangenen Kapiteln das Hirn zermartert haben: Die Frage nach der Entscheidbarkeit selbst ist unentscheidbar. Oder, auf seine Maschine bezogen: Es gibt kein allgemeines Programm, das eine Antwort auf die Frage liefert: «Wird diese Maschine jemals eine 0 drucken?»

Turings Motivation war also ein sehr abstraktes mathematisches Problem. Aber gleichsam nebenbei entwickelte er eine damals nur in der Theorie existierende Maschine, die sozusagen der ideelle Übercomputer ist – jeder digitale Rechner kann mit Turings Maschine simuliert werden, wenn auch nur seeeehr langsam. Und umgekehrt: Fast jeder von uns trägt heute mit seinem Handy oder Laptop eine (unvollkommene, weil nur mit begrenztem Speicher ausgestattete) Turingmaschine mit sich herum. Und damit gehört Alan Turing zu den Urvätern der digitalen Revolution.